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<!DOCTYPE html>

<title>Verdopplungszeit</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Verdopplungszeit</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die <b>Verdopplungszeit</b> (auch <b>Verdoppelungszeit</b> oder <b>Doppelwertszeit</b> genannt) bezeichnet die Zeitspanne, in der sich eine <a href="Exponentielles_Wachstum" title="Exponentielles Wachstum">exponentiell wachsende</a> Größe (beispielsweise die Bevölkerung eines Landes oder eine Tierpopulation) verdoppelt. Sie ermöglicht eine bessere Vergleichbarkeit des Wachstums unterschiedlicher Größen gegenüber dem Vergleich anhand der absoluten Größenänderung. Eine kürzere Verdopplungszeit bedeutet ein schnelleres Wachstum, eine längere Verdopplungszeit ein langsameres Wachstum. Die Verdopplungszeit ist mathematisch mit der <a href="Halbwertszeit" title="Halbwertszeit">Halbwertszeit</a> verwandt. In der <a href="Mikrobiologie" title="Mikrobiologie">Mikrobiologie</a> wird sie auch als <a href="Generationszeit" title="Generationszeit">Generationszeit</a> bezeichnet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<p>Die Verdopplungszeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{V}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{V}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eccc0efc6717e4d576a7e1fc45f53492092e3d6e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.336ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{V}}" loading="lazy"></span> wird mit folgender Gleichung aus der <a href="Wachstumsrate" title="Wachstumsrate">Wachstumsrate</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> oder dem <a href="Wachstumsfaktor_(Mathematik)" title="Wachstumsfaktor (Mathematik)">Wachstumsfaktor</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"></span> berechnet<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{V}={\frac {\ln(2)}{\ln(1+p)}}={\frac {\ln(2)}{\ln(q)}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2abff1d896ab093ff1cac3aba4a324b6650855e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:24.037ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle t_{V}={\frac {\ln(2)}{\ln(1+p)}}={\frac {\ln(2)}{\ln(q)}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Beispiel: Wächst die Bevölkerung eines Landes jährlich um 2 % beträgt der Wachstumsfaktor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=1{,}02}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=1{,}02}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3cd9eeab9399abafbe2d28bdd762f12099353e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.302ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q=1{,}02}" loading="lazy"></span>. Daraus ergibt sich eine Verdopplungszeit von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{V}={\tfrac {\ln(2)}{\ln(1{,}02)}}\approx 35{,}0028}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{V}={\tfrac {\ln(2)}{\ln(1{,}02)}}\approx 35{,}0028}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1788c00cad215b9884539f02e6809dcdc6ae3e32.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:22.564ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle t_{V}={\tfrac {\ln(2)}{\ln(1{,}02)}}\approx 35{,}0028}" loading="lazy"></span>. Die Bevölkerung verdoppelt sich also etwa alle 35 Jahre.

</p><p>Eine näherungsweise Berechnung aus der Wachstumsrate <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> (in Prozent angegeben) ist z. B. mit der <a href="72er-Regel" title="72er-Regel">72er-Regel</a> möglich: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{V}\approx 72/p}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{V}\approx 72/p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d36c9ee9d253cb75ed754d0aa650869184e8cf6a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.091ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t_{V}\approx 72/p}" loading="lazy"></span>. Beispiel: Bei einem jährlichen Bevölkerungswachstum von 2 % beträgt die Verdopplungszeit etwa <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{V}\approx 72/2=36}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{V}\approx 72/2=36}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/998ccf7f9c7bc2b19a8513aa2a5e2f94c6d04aa3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.507ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t_{V}\approx 72/2=36}" loading="lazy"></span> Jahre.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Herleitung">Herleitung</h2></div>

<p>Gegeben ist die zeitlich <a href="Exponentielles_Wachstum" title="Exponentielles Wachstum">exponentiell wachsende</a> Größe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"></span>:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(t)=N_{0}\cdot q^{t}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ac678b2902715f736586e647c1daa1118495a99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.316ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle N(t)=N_{0}\cdot q^{t}}" loading="lazy"></span>,   mit   <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{0}\neq 0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{0}\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2785f2e177a9abe2a0e2ac9fc25d88ff99131032.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.181ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle N_{0}\neq 0}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Zum Zeitpunkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=t_{V}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=t_{V}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9c62abc2ab081d52b969f96223ec43d4b88a87c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.274ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t=t_{V}}" loading="lazy"></span> soll sich der Wert verdoppelt haben, d. h.

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(t_{V})=N_{0}\cdot q^{t_{V}}=2\cdot N_{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c51eb1b49919c071296202d3904a7abbe3077d92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.863ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle N(t_{V})=N_{0}\cdot q^{t_{V}}=2\cdot N_{0}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Eine Division durch <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b6328fbe0cded37216c90735c89ee188be26a30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.92ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N_{0}}" loading="lazy"></span> sowie <a href="Logarithmus#Überblick" title="Logarithmus">Logarithmieren</a> führt auf

</p>

<mrow>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln \left(q^{t_{V}}\right)=\ln(2)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb5b38839817ed9c7204a2c197e840983adfd6f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.174ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ln \left(q^{t_{V}}\right)=\ln(2)}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Mit dem <a href="Logarithmus#Potenzen" title="Logarithmus">Logarithmengesetz für Potenzen</a> ergibt sich

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{V}\cdot \ln(q)=\ln(2)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d11e3e286b8145901bbd8a2cebb82b9bf9cbf6f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.843ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t_{V}\cdot \ln(q)=\ln(2)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>und schließlich

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{V}={\frac {\ln(2)}{\ln(q)}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1e75e3d5bcf29d3483cdda6ceedac0b206081552.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:11.181ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle t_{V}={\frac {\ln(2)}{\ln(q)}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.mathebibel.de/verdopplungszeit"><i>Verdopplungszeit - Mathebibel.de.</i></a><span class="Abrufdatum"> Abgerufen am 4. April 2020</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AVerdopplungszeit&rft.title=Verdopplungszeit+-+Mathebibel.de&rft.description=Verdopplungszeit+-+Mathebibel.de&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.mathebibel.de%2Fverdopplungszeit"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>